Turunan Fungsi Implisit dan Turunan Trigometri

Pengertian Turunan Trigonometri

        Turunan fungsi trigonometri yaitu proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri ataupun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya. Fungsi trigonometri yang biasa digunakan yaitu sin(x), cos(x) dan tan(x). Contoh: turunan “f(x) = sin(x)” ditulis “f ′(a) = cos(a)”. “f ′(a)” yaitu tingkat perubahan sin(x) di titik “a”.

 

        Semua turunan fungsi trigonometri lingkaran bisa ditemui dengan cara memakai turunan sin(x) dan cos(x). hasil-bagi lalu dpakai untuk menemukan turunannya. Sementara itu, pencarian turunan fungsi trigonometri invers membutuhkan diferensiasi implisit dan turunan fungsi trigonometri biasa.

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang hatus diketahui sebelum memecahkan persoalan turunan trigonometri:

f (x) = sin x → f ‘(x) = cos x
f (x) = cos x → f ‘(x) = −sin x
f (x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x
f (x) = cot x → f ‘(x) = −csc2x
f (x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
f (x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I

Misalkan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, Jadi :

f (x) = sin u → f ‘(x) = cos u . u’
f (x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
f (x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
f (x) = cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
f (x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
f (x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II

Berikut ialah turunan dari fungsi rumus sin cos tan trigonometri pada variabel sudut ax +b, dimana a dan b yaitu bilangan real dengan a≠0 :

f (x) = sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
f (x) = cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
f (x) = tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
f (x) = cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
f (x) = sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
f (x) = csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b).

Fungsi Turunan

 

Contoh Soal:
Tentukan turunan y = cos x2

Jawab
Misal :
u = x2 ⇒ u’ = 2x

y’ = −sin u . u’
y’ = −sin x2 . 2x
y’ = −2x sin x2

Turunan Implisit

        

        Persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) disebut persamaan fungsi eksplisit.

Sebagai contohnya yaitu y=3x2+5x−7;y=x2+sinx

Tidak semua fungsi dapat dituliskan dalam bentuk eksplisit. Contohnya seperti berikut ini:

cos(x+y)+xy2−−−√−5x=0;y+cos(xy2)+3x2=5y2−6

        Secara umum, fungsi f(x,y) = c, dengan c anggota dari bilangan real disebut persamaan fungsi implisit. Turunan fungsi implisit dilakukan pada fungsi-fungsi implisit tanpa mengubah bentuk fungsi implisit menjadi fungsi eksplisit. Menurunkan fungsi implisit terhadap x dapat dilakukan dengan cara seperti berikut ini:

1. Turunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x.

2. Gunakan aturan rantai

3. Tentukan dy/dx

Aturan rantai adalah sebagai berikut:

dydx=dydududx

Perhatikan contoh soal berikut ini:

Contoh Soal :

Tentukan dy/dx jika:

1.  y=u2  dan  u=x4

2. y=u2  dan u merupakan fungsi dari x secara implisit.

Pembahasan:

1. Dari aturan rantai diperoleh bahwa:

            dydx=dydududx

                   =2u(4x3)=2(x4)(4x3)

2. Dari aturan rantai diperoleh sebagai berikut ini:

            dydx=dydududx

                   =2ududx

   Jadi, ddx(u2) dengan u fungsi dari x secara implisit adalah 2ududx.